Çarpımsal genelleştirilmiş türevli halkalar

Abstract

Bu çalışmada çarpımsal genelleştirilmiş-(α,α)-ters türevler üzerine sonuçlar elde edilmiştir. Başka bir ifadeyle R bir yarı-asal halka, (0)≠I, R halkasının bir ideali, α:R→R bir anti-epimorfizma fakat I ⊈ Kerα, d:R→R bir dönüşüm ve F:R→R d dönüşümü ile belirli çarpımsal genelleştirilmiş-(α,α)-ters türev olmak üzere aşağıda yazılı eşitliklerden en az biri sağlandığında her ⍴∈I için [α(⍴),d(⍴)]=0 olduğu gösterilmiştir. i.F([⍴,ỿ]) = 0 ii.F(⍴∘ỿ) = 0 iii.F([⍴,ỿ]) = ±α([⍴,ỿ]) iv.F(⍴∘ỿ) = ±α(⍴∘ỿ) v.F([⍴,ỿ]) = ±α(⍴∘ỿ) vi.F(⍴∘ỿ) = ±α([⍴,ỿ]) vii.F([⍴,ỿ]) = ±α([F(⍴),ỿ]) viii.F(⍴∘ỿ) = ±α(F(⍴)∘ỿ) ix.F(⍴ỿ)- F(⍴)F(ỿ)=0 x.F(⍴ỿ) + F(⍴)F(ỿ)=0 Ayrıca her ⍴,ỿ∈I için F(⍴ỿ)-F(ỿ)F(⍴)=0 ve F(⍴ỿ)+F(ỿ)F(⍴)=0 eşitlikleri için α(I)d(I)=0 ve her ỿ elemanı için [F(ỿ),α(ỿ)]=0 olduğu gösterilmiştir.

In this study, results on multiplicative (generalized)-(α,α)-reverse derivation were obtained. Let R be a ring and I a nonzero ideal of R. A mapping F:R→R is called a multiplicative (generalized)-(α,α)-reverse derivation if there exists a mapping, d:R→R such that F(⍴ỿ)=F(ỿ)α(⍴)+α(ỿ)d(⍴), for all ⍴,y∈R where α:R→R is an anti-epimorphism and I ⊈ Kerα. In the present study, we will prove that [α(⍴),d(⍴)]=0, for all ⍴∈I if any one of the following holds: i.F([⍴,ỿ]) = 0 ii.F(⍴∘ỿ) = 0 iii.F([⍴,ỿ]) = ±α([⍴,ỿ]) iv.F(⍴∘ỿ) = ±α(⍴∘ỿ) v.F([⍴,ỿ]) = ±α(⍴∘ỿ) vi.F(⍴∘ỿ) = ±α([⍴,ỿ]) vii.F([⍴,ỿ]) = ±α([F(⍴),ỿ]) viii.F(⍴∘ỿ) = ±α(F(⍴)∘ỿ) ix.F(⍴ỿ)- F(⍴)F(ỿ)=0 x.F(⍴ỿ) + F(⍴)F(ỿ)=0 Also, If F(⍴ỿ)-F(ỿ)F(⍴)=0 and F(⍴ỿ)+F(ỿ)F(⍴)=0 for all ⍴,ỿ∈I, then α(I)d(I)=(0) and [F(ỿ),α(ỿ)]=0 for all ỿ∈I.